1 – Probabilidade e Valor Expectável no Poker Holdem

Vamos começar pelos conceitos mais básicos e a partir daí construir as fundações da teoria matemática para (tentar) analisar um jogo de poker na variante Holdem. Vão ser muitos posts

A ideia vai ser apresentar a  teoria e de seguida concretizar com um exemplo de uma situação real num jogo de poker.

Probabilidade

Se n tentativas de um experimento (tal como dar uma mão de holdem) produzir n0 ocorrências de  um evento x, definimos a probabilidade p de x ocorrer p(x) como

p(x) = lim(n→∞) n0/n

Comecemos com uma pergunta muito simples: Qual é a probabilidade de sair um ás?

Temos 4 ases num baralho de 52 cartas, ou seja, 4 chances em 52: p(A)=4/52=1/13. Note-se que estamos a somar as probabilidades individuais (a probabilidade de sair um ás mais a probabilidade de sair outro ás…) porque são mutuamente exclusivas, i.e., uma carta não pode ser ao mesmo tempo um ás de copas e um ás de espadas.

Eventos Independentes

Consideremos agora os seguintes eventos:

• A carta é uma copa : p(H) = 13/52=1/4 (há 13 copas possíveis num baralho de 52 cartas)
• A carta é um ás: p(A) = 4/52=1/13 (há 4 ases possíveis num baralho de 52 cartas)

mas neste caso, se quisermos calcular a probabilidade de sair um ás ou uma copa, não podemos adicionar como anteriormente porque pode sair uma carta que seja um ás e uma copa (um ás de copas).

Podemos então lançar a ideia de eventos independentes: se a probabilidade de dois eventos ocorrerem for igual ao produto das probabilidades individuais => os eventos são independentes. Neste caso, a probabilidade de A e B ocorrerem chama-se probabilidade conjunta.

A probabilidade conjunta de uma carta ser uma copa e um ás é 1/4 * 1/13

Eventos Dependentes

Para introduzir este conceito, consideremos os seguintes eventos:

• B: a primeira carta a sair é um ás
• A: a segunda carta a sair é um ás

e façamos a seguinte pergunta: qual a probabilidade de A acontecer sabendo que B aconteceu (ou seja, qual é a probabilidade de sair um ás na segunda carta sabendo que já saiu um ás na primeira carta)?. A isto chama-se probabilidade condicional. É fácil ver que os eventos são independentes se a probabilidade condicional de A dado B for igual à probabilidade de A (o fato de B ter acontecido não influencia em nada o A).

Vamos utilizar a seguinte notação:

• p(A U B) = Probabilidade de A ou B ocorrerem
• p(A ∩ B) = Probabilidade de A e B ocorrerem
• p(A|B) = Probabilidade de A ocorrer dado que B já ocorreu

Eventos mutuamente exclusivos:

• p(A U B) = p(A) + p(B)          (1.1)
  

Eventos independentes

• p(A ∩ B) = p(A)p(B)          (1.2)

Para todos os eventos

• p(A U B) = p(A) + p(B) - p(A ∩ B)          (1.3)
  

Para eventos dependentes

• p(A ∩ B) = p(A)p(B|A)          (1.4)

Podemos ver que a eq.(1.1) é um caso especial da eq.(1.3).

Podemos ver que a eq.(1.2) é um caso especial da eq(1.4). Facilmente concluímos que, para eventos independentes, p(B|A) = p(B).

Com os dois eventos definidos anteriormente, façamos a seguinte pergunta: com que frequência uma mão de holdem contém dois ases?

p(A) = 1/13

p(B) = 1/13

no entanto os eventos são dependentes! Se

p(A ∩ B) = p(A)p(B|A) = 1/13 * 1/17 = 1/221

Antes de avançarmos com uma pergunta bem mais interessante, vamos expor algumas propriedades das probabilidades (para ver algo mais formal sobre este assunto, consultar por exemplo Probability). Definimos C como o evento certo e I o evento impossível. Então,

• 0 ≤p(A) ≤ 1 qualquer que seja o evento A
• p(C) = 1
• p(I) = 0
• p(A) + p(‾A) = 1

Já temos material suficiente para conseguirmos responder à seguinte questão: Tendo uma mão do mesmo naipe, qual a probabilidade de sair um flush no flop?

Com duas cartas no mesmo naipe na mão, sobram 11 cartas do mesmo naipe no baralho. Consideremos os 3 eventos:

• A: a primeira carta do flop ser uma carta de flush
• B: a segunda carta do flop ser uma carta de flush, sabendo que a primeira carta é de flush
• C: a terceira carta do flop ser uma carta de flush sabendo que as duas anteriores são cartas de flush

Na notação definida anteriormente, o que queremos calcular é a p(A ∩ B ∩ C). Temos os seguintes dados:

• p(A) = 11/50 (há 11 cartas possíveis do mesmo naipe que as que temos na mão em 50 cartas)
• p(B\A) = 10/49 (como já sairam 3 cartas do mesmo naipe, sobram 10 cartas em 49 possíveis)
• p(C|(A ∩ B) = 9/48 (há 9 cartas possíveis em 48)

Da eq.(1.4), p(A ∩ B) = p(A)p(B|A) = 11/50 x 10/49 = 11/245

Definimos D = A ∩ B. Então, p(D ∩ C) = p(D)p(C\D)

Reunindo  tudo, p(A ∩ B ∩ C) = p(C|(A ∩ B) p(A ∩ B) = 9/48 * 11/245 = 33/3920 (um pouco menos de 1%)

Distribuições de Probabilidades

Quando uma distribuição de probabilidades tem valores numéricos associados às possíveis saídas, podemos encontrar o valor expectável (EV) dessa distribuição, que é o valor de cada saída multiplicada pela sua probabilidade, tudo somado no fim. De outra forma, podemos dizer que para uma distribuição de probabilidades P onde cada uma das n saídas tem um valor xi e uma probabilidade pi, então o valor expectável de P é

<P> = ∑ pi * xi

e esta é uma ideia central do poker: para ganhar é necessário estar constantemente a maximizar o valor expectável.

Há uma propriedade importante do valor expectável: O EV é aditivo, i.e., de n apostas diferentes em linha, o EV é igual à soma dos EVs individuais para cada aposta.

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